Integralrechnung lernen – Stammfunktionen & bestimmte Integrale
Die Integralrechnung ist das Gegenstück zur Differentialrechnung. Du lernst, Stammfunktionen zu bestimmen, bestimmte Integrale zu berechnen und Flächen zwischen Graphen zu ermitteln. Diese Karteikarten decken alle Standardregeln ab, die in Abiturprüfungen gefordert werden.
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Vom Ableiten zum Integrieren
Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens. Zu jeder Funktion f(x) gibt es eine Stammfunktion F(x) mit F'(x) = f(x). Die Stammfunktion ist nicht eindeutig – sie unterscheidet sich immer um eine Konstante C.
Lernreihenfolge für Integrale
- Schritt 1: Potenzregel rückwärts anwenden: Integral von x^n ist x^(n+1) / (n+1) + C.
- Schritt 2: Grundintegrale auswendig lernen: e^x, sin(x), cos(x), 1/x.
- Schritt 3: Bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz berechnen: F(b) - F(a).
- Schritt 4: Vorzeichenwechsel bei Flächen beachten – Graphen unter der x-Achse geben negative Integralwerte.
Typische Prüfungsaufgaben
In Abituraufgaben werden häufig Flächen zwischen zwei Kurven gefragt. Dazu bestimmst du zunächst die Schnittpunkte, dann integrierst du die Differenz der Funktionen. Achte auf das Vorzeichen: nimm immer |f(x) - g(x)|, wenn du echte Flächen (ohne Vorzeichen) willst.
Alle Karten in diesem Set
| Vorderseite | Rückseite |
|---|---|
| Potenzregel beim Integrieren: Integral von x^n | x^(n+1) / (n+1) + C (für n ≠ -1) |
| Integral von 1/x | ln|x| + C |
| Integral von e^x | e^x + C |
| Integral von sin(x) | -cos(x) + C |
| Integral von cos(x) | sin(x) + C |
| Integral einer Konstanten c | c*x + C |
| Faktorregel beim Integrieren | c * Integral von f(x) dx |
| Summenregel beim Integrieren | Integral von f+g = Integral von f + Integral von g |
| Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung | Integral von a bis b über f(x) dx = F(b) - F(a), wobei F'(x) = f(x) |
| Was ist eine Stammfunktion F(x)? | Eine Funktion mit F'(x) = f(x). Sie ist bis auf eine additive Konstante C eindeutig. |
| Integral von e^(3x) | (1/3) * e^(3x) + C (innere Ableitung 3 kompensieren) |
| Fläche zwischen f und g berechnen | Integral von a bis b über |f(x) - g(x)| dx; Schnittpunkte als Grenzen nutzen |
| Warum sind Flächen unter der x-Achse negativ? | Das Integral gibt vorzeichenbehaftete Fläche an. Für echte Fläche Betrag nehmen oder auf Vorzeichen prüfen. |
| Integral von 2x + 3 | x^2 + 3x + C |
| Integral von x^(-2) | -x^(-1) + C = -1/x + C |
| Integral von sqrt(x) = x^(1/2) | (2/3) * x^(3/2) + C |
| Was ist der Unterschied zwischen unbestimmtem und bestimmtem Integral? | Unbestimmtes Integral: Stammfunktion + C. Bestimmtes Integral: numerischer Wert, Fläche zwischen a und b. |
| Integral von 1/(x^2 + 1) | arctan(x) + C |
| Rotationsvolumen um die x-Achse | V = pi * Integral von a bis b über f(x)^2 dx |
Häufige Fragen
Was bedeutet die Konstante C beim unbestimmten Integral?
Da beim Ableiten Konstanten wegfallen, kann die Stammfunktion nicht eindeutig bestimmt werden. Das C steht für eine beliebige reelle Zahl. Bei bestimmten Integralen mit Grenzen fällt C heraus.
Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Kurven?
Zuerst die Schnittpunkte berechnen, dann das Integral der Differenz |f(x) - g(x)| über das Intervall bilden. Wechselt das Vorzeichen von f - g innerhalb des Intervalls, muss man das Integral aufteilen.
Was ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?
Er verbindet Ableitung und Integral: Das bestimmte Integral von a bis b über f(x) ergibt F(b) - F(a), wobei F eine Stammfunktion von f ist. Damit ist Integrieren die Umkehrung des Ableitens.