Funktionen – Karteikarten Mathematik Mittelstufe

Funktionen lernen – Typen, Eigenschaften & Graphen

Funktionen sind eines der zentralen Konzepte der Mathematik. Diese Karteikarten erklären die wichtigsten Funktionstypen der Mittelstufe: lineare, quadratische, ganzrationale und einfache trigonometrische Funktionen, ihre Eigenschaften, Graphen und typische Aufgabenstellungen.

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Funktionen systematisch lernen

Eine Funktion ordnet jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich genau einen y-Wert zu. Lerne zuerst lineare Funktionen (Geraden), dann quadratische Funktionen (Parabeln), dann weitere Typen.

Lineare Funktionen: f(x) = mx + b

m: Steigung – wie steil ist die Gerade?
b: y-Achsenabschnitt – wo schneidet die Gerade die y-Achse?
Parallele Geraden haben gleiche Steigung m.
Senkrechte Geraden: Steigungen sind negativer Kehrwert voneinander (m1 * m2 = -1).

Quadratische Funktionen: f(x) = ax^2 + bx + c

Der Parameter a bestimmt die Öffnungsrichtung: a > 0 öffnet nach oben, a < 0 nach unten. Der Scheitelpunkt liegt bei x = -b / (2a). In Scheitelpunktform: f(x) = a*(x - d)^2 + e, wobei (d, e) der Scheitelpunkt ist.

Tipps für Graphen

Erstelle immer eine Wertetabelle für mindestens 5 Punkte und identifiziere Nullstellen, Achsenschnittpunkte und besondere Punkte (Scheitel, Extrema), bevor du zeichnest.

Alle Karten in diesem Set

Vorderseite	Rückseite
Allgemeine lineare Funktion	f(x) = mx + b (m: Steigung, b: y-Achsenabschnitt)
Steigung m berechnen aus zwei Punkten (x1, y1) und (x2, y2)	m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Nullstelle einer linearen Funktion	f(x) = 0 setzen: mx + b = 0 -> x = -b/m
Wann sind zwei Geraden parallel?	Wenn ihre Steigungen gleich sind (m1 = m2) und sie verschiedene y-Achsenabschnitte haben.
Wann stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander?	Wenn m1 * m2 = -1 gilt (Steigungen sind negativer Kehrwert voneinander).
Allgemeine quadratische Funktion (Normalform)	f(x) = ax^2 + bx + c
Scheitelpunktform einer Parabel	f(x) = a*(x - d)^2 + e (d, e) ist der Scheitelpunkt
x-Koordinate des Scheitelpunkts	xs = -b / (2a)
Parabel öffnet nach oben, wenn...	...der Koeffizient a > 0 ist.
Parabel öffnet nach unten, wenn...	...der Koeffizient a < 0 ist.
Nullstellen einer quadratischen Funktion mit der Formel	x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a) (Lösungsformel / p-q-Formel bei a=1: x = -p/2 ± sqrt((p/2)^2 - q))
Diskriminante b^2 - 4ac > 0	Zwei verschiedene reelle Nullstellen
Diskriminante b^2 - 4ac = 0	Genau eine Nullstelle (Scheitelpunkt auf x-Achse)
Diskriminante b^2 - 4ac < 0	Keine reellen Nullstellen (Parabel schneidet x-Achse nicht)
Was ist der Definitionsbereich einer Funktion?	Die Menge aller x-Werte, für die f(x) definiert ist. Bei Bruchfunktionen: Nenner ≠ 0. Bei Wurzeln: Radikand >= 0.
Wertebereich einer Funktion	Die Menge aller y-Werte, die f tatsächlich annimmt.
Wann ist eine Funktion gerade?	Wenn f(-x) = f(x) für alle x gilt – der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
Wann ist eine Funktion ungerade?	Wenn f(-x) = -f(x) für alle x gilt – der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Definitions- und Wertebereich?

Der Definitionsbereich enthält alle erlaubten x-Werte (Input). Der Wertebereich enthält alle y-Werte, die die Funktion tatsächlich annimmt (Output). Bei f(x) = x^2 ist der Definitionsbereich alle reellen Zahlen, der Wertebereich aber nur y >= 0.

Wie liest man die Steigung aus dem Graphen ab?

Man wählt zwei Punkte auf der Geraden und berechnet m = (Änderung in y) / (Änderung in x), also wie viel die Funktion in y-Richtung zunimmt, wenn x um 1 steigt. Eine Steigung von 2 bedeutet: pro Einheit nach rechts geht es 2 Einheiten nach oben.

Wie wandelt man eine Normalform in die Scheitelpunktform um?

Durch quadratische Ergänzung: f(x) = a*x^2 + bx + c umformen zu a*(x + b/(2a))^2 + (c - b^2/(4a)). Der Scheitelpunkt liegt dann bei x = -b/(2a) und y = c - b^2/(4a). Alternativ: Scheitel-x berechnen, einsetzen für Scheitel-y.